فروشگاه اینترنتی فایل ها این وبلاگ در زمینه فروش انواع مختلف فایل های آموزشی تحصیلی و دانشگاهی فعالیت می نماید

مطالعه ی شفافیت القا شده ی الکترومغناطیسی در سیستم های کوانتومی مختلف

 چکیده

 شفافیت القا شده الکترومغناطیسی روشی برای حذف اثر یک محیط بر روی انتشار پرتو الکترومغناطیسی می باشد. این اثر منجر به تداخل بین اتم های برانگیخته همدوس با میدان های الکترومغناطیسی شده و باعث می شود که یک محیط بسیار کدر به شفاف تبدیل شود. در حقیقت، شفافیت القا شده الکترومغناطیسی یک اثرتداخلی کوانتومی است که جذب معمول نور را کاهش می دهد، وقتی که فرکانس آن با فرکانس تشدیدی محیط تنظیم شده باشد. ارتباط نزدیکی بین شفافیت القا شده الکترومغناطیسی و دیگر پدیده های همدوسی اتمی نظیر تله اندازی جمعیت همدوس و مراحل انتقال جمعیت بی درروی همدوس وجود دارد. پدیده کاهش جذب یک پرتو پروب گذرنده از یک محیط، با اعمال پرتو پمپ دوم به آن است.

 فصل1

  اندرکنش اتم با میدان های تابشی نیمه کلاسیکی

 مقدمه

در این فصل به بررسی اندرکنش اتم با میدان ( نیمه کلاسیکی) می پردازیم. در بخش 1-1 تقریب موج چرخان را به طور خلاصه و مفید بیان می کنیم. در بخش های 1-2 اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی و به دنبال آن در بخش 1-3 ساختار هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی شرح داده می شود.در بخش 1-4 نیز اندرکنش اتم سه ترازی را بررسی خواهیم کرد.

  1-1 تقریب موج چرخان ¹

 در سیستم های چند ترازی برای تحریک گذار های اتمی، از میدان های لیزری با فرکانس های رابی متناظر استفاده می کنیم. گذار های اتمی در صورتی تحریک می شوند که فرکانس میدان لیزری خارجی با فرکانس گذار اتمی برابر باشد. چنانچه شرط یکسان بودن فرکانس رابی و فرکانس گذار اتمی ارضا نشود، اندرکنش اتم – میدان جهت جفت کردن تراز ها و انتقال جمعیت اتمی محقق نمی شود.با توجه به اینکه در به دست آوردن دامنه های احتمال جمعیت تراز های یک سیستم اتمی، دو جمله نمایی به صورت و ظاهر می شود. با اعمال شرط عبارت قابل چشم پوشی است، چرا که مقدار آن خیلی بزرگ است. به عبارتی جمله دارای نوسانات بسیار سریع بوده و مقدار متوسط آن صفر است. برای جفت شدن دو تراز به یکدیگر و اندرکنش اتم با میدان در یک سیستم اتمی، نوسانات اتم – فوتون نباید خیلی سریع باشد.

 .Rotating wave approximation1

بنابراین عبارت نمائی با مقدار بزرگ را حذف می کنیم. این حذف تحت
عنوان تقریب موج چرخان نامیده می شود. در معادله شرودینگر مورد استفاده در پدیده های اپتیک کوانتومی از این تقریب استفاده می کنیم]1[.

  1-2 اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی

  اندرکنش یک میدان تابشی تک مد با فرکانسرا با یک اتم دو ترازی در نظر می گیریم. فرض می کنیم به ترتیب مبین حالت های اتمی تراز پایین تر و بالا تر باشند، به عبارتی ویژه حالت های غیر مختل هامیلتونی با ویژه مقادیر به ترتیب و هستند. طرح شماتیک چنین اتمی در شکل1-1 نشان داده شده است.

تابع موج یک اتم دو ترازی را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-4)

که در آن و به ترتیب دامنه های احتمال یافتن اتم در حالت های و هستند.

معادله شرودینگر متناظر با حالت فوق عبارت است از

(1-5)

(1-6)

که در آن و به ترتیب قسمت های برهم کنشی و غیر اختلالی هامیلتونی اتم دو ترازی را نشان می دهند.

 شکل 1-1 . اندرکنش یک اتم دو ترازی با میدان تابشی

 با استفاده از رابطه تمامیت (بستاری ) هامیلتونی غیر مختل را می توانیم به فرم زیر بنویسیم:

(1-7)

 که در آن از روابطواستفاده می کنیم.

به طور مشابهرا که مبین هامیلتونیاندرکنش اتم با میدان تابشی است، می توان به صورت زیر نوشت:

(1-8)

که در آن عنصر ماتریسی گشتاور دو قطبی الکتریکی ومیدان تابشیاست. در اینجا فرض کردیم که میدان الکتریکی به طور خطی در راستای محور قطبیده شده است. در تقریب دو قطبی الکتریکی میدان را می توان به فرم زیر بیان کرد:

(1-9)

در رابطه فوق دامنه و فرکانس میدان است.

برای حل معادله شرودینگر به شرایط اولیه نیاز داریم. اگر اتم را در حالت اولیه فرض کنیم، خواهد بود. حال با استفاده از معادله شرودینگر ، معادلات حرکت برای دامنه های و را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-10)

(1-11)

 عنصر ماتریسی عملگر دو قطبی به صورت است. در اینجا فرض می کنیم که عناصر قطر اصلی ماتریس عملگر دو قطبی صفر باشند، به عبارتی . حال با استفاده ازتبدیل که مبین حالت سیستم در تصویر برهم کنش است.

معادلات حرکت برای دامنه های متغیر را به صورت زیر می نویسیم:

(1-12)

(1-13)

 

با جایگذاری روابط فوق درمعادلات (1- 10 ) و (1-11) خواهیم داشت:

(1-14)

 

( 1-15)

که در آن فرکانس گذار اتمی و نامیزانی فرکانسی¹ است. در استخراج معادلات فوق جملات غیر چرخان متناسب با را در تقریب موج چرخان نادیده گرفته ایم که درکل تقریب خوبی است.

 

 

 

Detuning .1

برای حل معادلات (1-15) و (1-16) از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم. فرض کنید

(1-16)

 

تبدیل لاپلاس باشد، در این صورت با استفاده از تبدیل لاپلاس

(1-17)

(1-18)

روابط زیر به دست می آیند:

(1-19)

(1-20)

 

رابطه (1-20) را می توان به فرم زیر ساده کرد:

(1-21)

با جایگذاری رابطه(1-19)در رابطه (1-21) خواهیم داشت:

(1-22)

(1-23)

 

که در آن فرکانس رابی به صورت

(1-24)

تعریف می شود. با محاسبات ریاضی ساده در می یابیم که ریشه های مخرج رابطه فوق به صورت زیر هستند:

(1-25)

و بنابراین رابطه (1-23) به صورت زیر در می آید:

(1-26)

 

با بازنویسی رابطه فوق به صورت

(1-27)

و با استفاده از تبدیلات معکوس لاپلاس به دست می آید:

(1-28)

برای محاسبه از رابطه زیر شروع می کنیم

(1-29)

با جایگذاری رابطه(1-20) در رابطه (1-29) خواهیم داشت:

(1-30)

(1-31)

حال اگر مراحل استفاده شده در به دست آوردن را به ترتیب برای نیز اعمال کنیم به صورت

(1-32)

(1-33)

(1-34)

(1-35)

 به دست می آید.

با تعریف به صورت

(1-36)

دامنه های احتمال و به صورت

(1-37)

(1-38)

به دست می آیند. در حالت خاصی که اتم در حالت تشدید با میدان تابشی است :

(1-39)

از رابطه ( 1-36) خواهیم داشت:

(1-40)

بنابراین دامنه های احتمال به صورت زیر ساده می شوند:

(1-41)

(1-42)

 با توجه به اینکه قدرمطلق مجذور دامنه های احتمال مبین جمعیت سیستم در حالت ها و زمان های مختلف است، جمعیت سیستم را در حالت تشدیدی یعنی برای به دست می آوریم:

(1-43)

(1-44)

 

1-3 ساختار هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی

 با توجه به اینکه در فصول 2 و 3 ، هامیلتونی مؤثر یک سیستم در بحث ها و حل روابط مربوط به شفافیت القا شده الکترومغناطیسی¹ و گذار های جمعیتی بی درروی رامان ² ( که در آن جمعیت اتمی با تحریک گذار های اتمی سیستم توسط میدان های لیزری تحت شرایط بی دررو به تراز منتخب انتقال می یابد) مطرح خواهد شد، لذا در این بخش نحوه به دست آوردن هامیلتونی یک سیستم دو ترازی را شرح خواهیم داد تا با تعمیم آن به هامیلتونی های سه ، چهار و پنج ترازی ، ساختار و اصول حاکم بر مکانیسم این پدیده ها را تحلیل کنیم.

با کمی دقت در روابط(1-14) و (1-15) می توانیم هامیلتونی سیستم دو ترازی را به صورت

(1-45)

  بنویسیم، که در آنهمان فرکانس رابی است. اگر بردار حالت متناظر باوویژه حالت متناظر با باشد، رابطه زیر بین این دو بردار حالت برقرار است.

(1-46)

در رابطه فوقرا به صورت فرض کرده ایم.

هامیلتونی مؤثر سیستم را می توان با اعمال تبدیل یکانی زیر روی هامیلتونی، به دست آورد.

(1-47)

 . Stimulation Raman adiabatic passage2 Electromagnetically Induced transparency. 1

می دانیم که معادله وابسته به زمان شرودینگر با فرضبه صورت زیر است:

(1-48)

با تلفیق رابطه (1-46) و (1-48) ، معادله شرودینگر به صورت

(1-49)

در می آید. از رابطه فوق نتیجه می گیریم که :

(1-50)

 با ضرب از چپ به طرفین معادله (1-50) و با توجه به رابطه خواهیم داشت:

 (1-51)

حال با تعریف هامیلتونی به صورت

(1-52)

 و با جایگذاری در معادله وابسته به زمان شرودینگر رابطه زیر به دست می آید:

(1-53)

 رابطه فوق در واقع معادله وابسته به زمان شرودینگر با هامیلتونیاست. در نهایت هامیلتونی مؤثر سیستم به صورت

(1-54)

 خواهد بود. با استفاده از دامنه های احتمالو در بخش 1-2 معادلات (1-43 ) ،(1-44 ) و هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی نمودار جمعیت بر حسب زمان را برای حالت رسم می کنیم.

زمان

 شکل 1-2. نمودار جمعیت بر حسب زمان برای حالت برا ساس هامیلتونی مؤثر سیستم.

 شکل 1-3. نمودار جمعیت برحسب زمان برای حالت .

 1-4 اندرکنش اتم سه ترازی با میدان های نیمه کلاسیکی

 در بخش های پیشین اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی را بررسی کردیم. حال اندرکنش یک اتم سه ترازی را با میدان تابشی در نظر می گیریم که تراز های انرژی آن به ترتیب و هستند. برای اتم سه ترازی اساساً سه پیکربندی مختلف وجود دارد : سیستم گونه، آبشاری و شکل. این سیستم ها در شکل زیر نشان داده شده اند.

(الف)

(ب)

(ج)

 شکل 1-4 سه سیستم سه ترازی مختلف با گذار های اتمی معین . الف. سیستم گونه ب. یک سیستم آبشاری و ج. یک سیستم

در این بخش به بررسی اتم های سه ترازی گونه می پردازیم.

یک اتم سه ترازی گونه را با تراز های پایه و تراز برانگیخته در نظر می گیریم.در واقع ترکیب سه ترازی یاد شده همان ترکیب رامان است. شکل شماتیک این اتم در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 1-5 اندرکنش یک اتم سه ترازی با دو پالس لیزری و

گذار های و به ترتیب تحت تأثیر دو میدان لیزری و هستند. حال عملگر اتمی را به صورت تعریف می کنیم که بیانگر عملگر های بالابرنده و پایین برنده سیستم های چند ترازی هستند. هامیلتونی سیستم سه ترازی به صورت

(1-55)

می باشد، که از دو جمله اختلالی و برهم کنشی تشکیل شده است.

هامیلتونی اتم سه ترازی را با استفاده از رابطه بستاری می توان به صورت

(1-56)

نوشت . هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان نیز مشابه با هامیلتونی اتم دو ترازی است، با این تفاوت که در اینجا دو میدان لیزری استفاده می شود.

(1-57)

که در آن میدان کلی است و به صورت بیان می شود.

با استفاده از رابطه هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان به صورت

(1-58)

در می آید. در رابطه فوق، عناصر ماتریسی عملگر گشتاور دو قطبی برای گذار است. با استفاده از تابع حالت زیر برای یک اتم سه ترازی :

(1-59)

معادله وابسته به زمان شرودینگر در تقریب موج چرخان به صورت زیر به دست می آید :

(1-60)

(1-61)

(1-62)

در روابط فوق ، و فرکانس های رابی پالس های لیزری هستند.

با استفاده از معادلات (1-60 )- (1-62 )، هامیلتونی توصیف شده برای اتم سه ترازی را می توان به فرم

(1-63)

نوشت.

بردار حالت هامیلتونی به صورت زیر قابل تعریف است.

(1-64)

 حال ویژه حالت اتم سه ترازی متناظر با هامیلتونی را به صورت

(1-65)

در نظر می گیریم. روابط (1-64) و(1-65) توسط رابطه به یکدیگر مرتبط اند، که درآن ماتریس یکانی است و به صورت زیر تعریف می شود.

 (1-66)

 معادله شرودینگر در این حالت به صورت

(1-67)

خواهد بود، که در آن ساختار هامیلتونی مؤثر به صورت زیر محاسبه می شود:

(1-68)

که با کمی محاسبات ساده به دست می آوریم.

(1-69)

اگر نامیزانی دو حالت باهم برابر باشند، به عبارتی باشد حالت تشدیدی دو فوتونی اتفاق می افتد.

(1-70)

 نمودار جمعیت تراز ها بر حسب زمان برای حالت تشدیدی و در شکل 5-2 رسم شده است.

  شکل1-6. نمودار جمعیت بر حسب زمان برای حالت سیستم سه ترازی

آنچه از نمودار جمعیت درک می شود این است که تراز برانگیخته جمعیت دار شده است و این انتقال جمعیت به تراز میانی باعث گسیل خود به خودی از این تراز به دو تراز دیگر خواهد شد. جمعیت دار شدت حالت تحریکی یک پدیده نامطلوب است به طوریکه پدیده استیرپ و شفافیت القا شده ی الکترومغناطیسی مبتنی بر جمعیت دار نشدن تراز می باشند.